Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e₁；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e₂，则e₁+e₂的取值范围为 （ ）

A．[2，+∞）
B．（，+∞）
C．[，+∞）
D．（，+∞）

Answer 1

【答案】分析：连接BD、AC，设∠DAB=θ，θ∈（0，），根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e₁，同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e₂的关系式，最后令e₁、e₂相乘即可得到e₁e₂的值，最后利用基本不等式求出e₁+e₂的取值范围即可．
解答：解：连接BD，AC，设∠DAB=θ，θ∈（0，），
则BD==，
∴双曲线中a=，e₁=．
∵AC=BD，
∴椭圆中CD=2t（1-cosθ）=2c′，
∴c'=t（1-cosθ），
AC+AD=+1，
∴a'=（ +1）
e₂==，
∴e₁e₂=×=1，
∴e₁+e₂=2，即则e₁+e₂的取值范围为[2，+∞）．
故选A．
点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．