Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E是PD的中点．证明：
（Ⅰ）PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）PB∥平面EAC．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通过证明PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A，即可证明PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）连结AC，BD相交于O，则O为BD的中点，证明PB∥OE．然后证明PB∥平面EAC．
解答：证明：（Ⅰ）∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=DA=AC=a．（2分）
∵PA=AC，∴PA=AB=a，PB=a，
∴PA⊥AB，同理可证PA⊥AD，（4分）
又∵AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD．（6分）
（Ⅱ）连结AC，BD相交于O，则O为BD的中点．
∵E为PD的中点，∴PB∥OE．（8分）
又∵OE?平面EAC，PB?平面EAC，（10分）
∴PB∥平面EAC．（12分）
点评：本题考查直线与平面平行直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．