Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）（理）求二面角N-CM-B的正切值；
（3）求点B到平面CMN的距离．

Answer 1

【答案】分析：法一：
（1）取AC中点D，连接SD、DB．由SA=SC，AB=BC，知SD⊥AC，BD⊥AC，由此能够证明AC⊥SB．
（2）由AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，知平面SDB⊥平面ABC．过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连接NF，则NF⊥CM，∠NFE为二面角N-CM-B的平面角．由此能求出二面角N-CM-B的正切值．
（3）在Rt△NEF中，由，知，．由V_B-CMN=V_N-CMB，能求出点B到平面CMN的距离．
法二：
（1）取AC中点O，连接OS、OB．由SA=SC，AB=BC，知AC⊥SO，AC⊥BO．所以SO⊥平面ABC，SO⊥BO．以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则，，由此能证明AC⊥SB．
（2）由，，设为平面CMN的一个法向量，由，得．由向量法能求出二面角N-CM-B的正切值．
（3）由，为平面CMN的一个法向量，能求出点B到平面CMN的距离．
解答：解法1：（1）取AC中点D，连接SD、DB．
∵SA=SC，AB=BC∴SD⊥AC，BD⊥AC，
∴AC⊥平面SDB，又SB?平面SDB，
∴AC⊥SB．…（4分）
（2）∵AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC．
过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，
过E作EF⊥CM于F，连接NF，
则NF⊥CM，∠NFE为二面角N-CM-B的平面角．
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，
∴SD⊥平面ABC．
又NE⊥平面ABC，∴NE∥SD．
∵SN=NB，
∴，且ED=EB．
在正△ABC中，，
在Rt△NEF中，
∴二面角N-CM-B的正切值为．…（8分）
（3）在Rt△NEF中，，
∴，
．
设点B到平面CMN的距离为h，
∵V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，
∴，
∴．
即点B到平面CMN的距离为．…（14分）
解法2：（1）取AC中点O，连接OS、OB．
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO，AC⊥BO．
∵平面SAC⊥平面ABC，
平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO．
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（2，0，0），，C（-2，0，0），，
∴，，
∵，
∴AC⊥SB．…（6分）
（2）∵，，
又C（-2，0，0），∴，．
设为平面CMN的一个法向量，
则，
取z=1，，，
∴．
又为平面ABC的一个法向量，
∴，
得
∴．
即二面角N-CM-B的正切值为．…（10分）
（3）由（1）（2）得，
又为平面CMN的一个法向量，，
∴点B到平面CMN的距离．…（14分）
点评：本题考查异面直线的证明，二面角正切值的求法和点到平面距离的计算，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．