Question

函数y=ln(x+

x2+1

)，（x∈R）的反函数为（　　）

• A．y=

  1

  2

  (ex-e-x)，x∈R
• B．y=

  1

  2

  (ex-e-x)，x∈（0，+∞）
• C．y=

  1

  2

  (ex+e-x)，x∈R
• D．y=

  1

  2

  (ex+e-x)，x∈（0，+∞）

Answer 1

分析：由题意可得：x+

x2+1

=ey，即

x2+1

=ey-x，=再两边平方整理可孤立出x，进而求出原函数的反函数得到答案．

解答：解：因为函数y=ln(x+

x2+1

)，
所以x+

x2+1

=ey，即

x2+1

=ey-x，
两边平方整理可得：x=

e2y-1

2ey

=

1

2

（e^y-e^-y），
又∵x+

x2+1

＞0，
∴根据对数函数的性质可得：ln（x+

x2+1

）∈R，
∴原函数的值域为R，即反函数的值域为R，
∴反函数为y=

1

2

(ex-e-x)，x∈R，
故选A．

点评：本题主要考查反函数的知识点，求反函数的方法是：根据原函数的解析式利用y表示x，即孤立出x，再以x代替y，以y代替x的位置，即可得到原函数的反函数，原函数的定义域即为反函数的值域，原函数的值域即为反函数的定义域．