Question

在半径为15的球内有一个底面边长为12

3

的内接正三棱锥，则此正三棱锥的体积为

864

3

或216

3

．

Answer 1

分析：因为在半径为15的球内有一个底面边长为12

3

的内接正三棱锥，故此三棱锥的高未定，根据球体的对称性可判断符合条件的正三棱锥有两个，分别考虑球心在三棱锥的高上还是在高外，求得三棱锥的高即可利用三棱锥体积公式计算结果

解答：解：如图设球的球心为O，内接正三棱锥为E-BCD，
则三角形BCD为正三角形，边长BC=12

3

，外接圆半径AC=

3

3

× 12

3

=12
球的半径OC=OE=15
（1）若E、A分别在球心O的两侧（如图1），则在Rt△OAC中，OA=

OC2-AC2

=

152-122

=9
∴正三棱锥为E-BCD的高EA=OE+OA=15+9=24
∴正三棱锥为E-BCD的体积VE-BCD=

1

3

×S△BCD ×EA
=

1

3

×

3

4

×(12

3

)2×24=

1

3

×108

3

×24=864

3

（2）若E、A分别在球心O的同侧（如图2），则
在Rt△OAC中，OA=

OC2-AC2

=

152-122

=9
∴正三棱锥为E-BCD的高EA=OE-OA=15-9=6
∴正三棱锥为E-BCD的体积VE-BCD=

1

3

×S△BCD ×EA=

1

3

×

3

4

×(12

3

)2×6=

1

3

×108

3

×6=216

3

故答案为 864

3

或216

3

点评：本题考查了球与三棱锥的接和切问题，球的性质，正三棱锥的性质及体积计算公式，空间想象能力，分类讨论的思想方法