Question

（2012•湖南）对于n∈N^*，将n表示为n=ak×2k+ak-1×2k-1+…+a1×21+a0×20，当i=k时，a_i=1，当0≤i≤k-1时，a_i为0或1．定义b_n如下：在n的上述表示中，当a₀，a₁，a₂，…，a_k中等于1的个数为奇数时，b_n=1；否则b_n=0．
（1）b₂+b₄+b₆+b₈=

3

；
（2）记c_m为数列{b_n}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则c_m的最大值是

2

．

Answer 1

分析：（1）由题设定义可知，2=1×2，4=1×2²，6=1×2²+1×2，8=1×2³，从而b₂=1，b₄=1，b₆=0，b₈=1，故可求b₂+b₄+b₆+b₈的值；
（2）设{b_n}中第m个为0的项为b_i，即b_i=0，构造二进制数（i）₁₀=（a_ka_k-1…a₁a₀）₂，则a_ka_k-1…a₁a₀中1的个数为偶数，再进行分类讨论：当a₂a₁a₀=000时，c_m=2；当a₂a₁a₀=001时，c_m=0；当a₂a₁a₀=010时，c_m=1；当a₂a₁a₀=011时，c_m=0；当a₂a₁a₀=100时，c_m=2；当a₂a₁a₀=101时，c_m=0；当a₀=0，前面有奇数个1时，c_m=1； 当a₀=0，前面有偶数个1时，c_m=2；当末位有奇数个1时，c_m=1；当末位有偶数个1时，c_m=0，由此可得c_m的最大值．

解答：解：（1）由题设定义可知，2=1×2，4=1×2²，6=1×2²+1×2，8=1×2³，∴b₂=1，b₄=1，b₆=0，b₈=1
∴b₂+b₄+b₆+b₈=3
（2）设{b_n}中第m个为0的项为b_i，即b_i=0，构造二进制数（i）₁₀=（a_ka_k-1…a₁a₀）₂，则a_ka_k-1…a₁a₀中1的个数为偶数，当a₂a₁a₀=000时，b_i+1=1，b_i+2=1，b_i+3=0，c_m=2；
当a₂a₁a₀=001时，b_i+1=0，c_m=0；当a₂a₁a₀=010时，b_i+1=1，b_i+2=0，c_m=1；当a₂a₁a₀=011时，b_i+1=0，c_m=0；当a₂a₁a₀=100时，b_i+1=1，b_i+2=1，b_i+3=0，c_m=2；当a₂a₁a₀=101时，b_i+1=0，c_m=0；当a₀=0，前面有奇数个1时，b_i+1=1，b_i+2=0，c_m=1； 当a₀=0，前面有偶数个1时，b_i+1=1，b_i+2=1，b_i+3=0，c_m=2；当末位有奇数个1时，b_i+1=1，b_i+2=0，c_m=1；当末位有偶数个1时，b_i+1=1，b_i+2=0，c_m=0；故c_m的最大值为2．

点评：对于新定义型问题，正确理解新定义传递的信息是解题的突破口．