Question

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2^x+ln（x+1）-1．
（1）求函数f（x）的解析式；并判断f（x）在[-1，1]上的单调性（不要求证明）；
（2）解不等式f（2x-1）+f（1-x²）≥0．

Answer 1

（1）设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，
所以f(-x)=2-x+ln(1-x)-1=

1

2x

+ln(1-x)-1．（3分）
又f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），
于是f（x）=-f（-x）=-

1

2x

-ln(1-x)+1．（5分）
故f(x)=

- 1 2x -ln(1-x)+1，(-1≤x＜0) 2x+ln(x+1)-1    (0≤x≤1).

（6分）
判断：f（x）在[-1，1]上是增函数；（8分）
（2）因奇函数f（x）在[-1，1]上是增函数，
所以f（2x-1）+f（1-x²）≥0?f（2x-1）≥f（x²-1） （10分）
?

2x-1≥x2-1 -1≤2x-1≤1 -1≤x2-1≤1

?

0≤x≤2 0≤x≤1 - 2 ≤x≤ 2 .

（14分）
解得0≤x≤1，所以不等式的解集为{x|0≤x≤1}．（16分）