Question

已知函数f(x)=

x+a

ax+a-2

，f（2）=1．
（1）求a的值； （2）求证：函数f（x）在（-∞，0）内是减函数．

Answer 1

分析：（1）由已知f（2）=1可求a
（2）由（1）得f(x)=

x+2

2x

=

1

2

+

1

x

(x≠0)，利用单调性的定义，设任意x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂．判断f(x1)-f(x2)=(

1

2

+

1

x1

)-(

1

2

+

1

x2

)=

x2-x1

x1x2

的符号即可证明

解答：解：（1）由已知，得f(2)=

2+a

2a+a-2

=1，
∴a=2．…（4分）
证明：（2）由（1）得f(x)=

x+2

2x

=

1

2

+

1

x

(x≠0)，
设任意x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂．
则f(x1)-f(x2)=(

1

2

+

1

x1

)-(

1

2

+

1

x2

)=

x2-x1

x1x2

．…（8分）
∵x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂．
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以，函数f（x）在（-∞，0）内是减函数．…（12分）

点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数解析式，函数单调性的定义在证明单调性中的应用，属于基础试题