题目内容

已知A，B为椭圆 $数学公式$ 的左右两个顶点，F为椭圆的右焦点，P为椭圆上异于A、B点的任意一点，直线AP、BP分别交椭圆的右准线于M、N点，则△MFN面积的最小值是

A.
8
B.
9
C.
11
D.
12

B
分析：先设P（s，t），由题设条件得两直线PA，PB的方程，与准线方程联立，解出M，N两点的坐标，用s，t表示出线段MN的长度，再由点P在椭圆上，将点的坐标代入椭圆方程，用s表示出t，消去t，得到线段MN的长关于s的函数，又点F到准线的距离是3，由此MFN面积可表示为s的函数，由其形式知，可用判别式法求最小值
解答：设P（s，t），由题意直线PA的方程为 $\text{[math]}$ ，即，直线PB的方程为 $\text{[math]}$
由于椭圆 $\text{[math]}$ 故a=2，b= $\text{[math]}$ ，c=1，故其右准线方程为x= $\text{[math]}$ =4，F（1，0），故F到准线的距离是3
∵直线AP、BP分别交椭圆的右准线于M、N点
∴M（4， $\text{[math]}$ ），N（4， $\text{[math]}$ ）
故有|MN|=| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |
∴S²= $\text{[math]}$ ×|MN|²×9= $\text{[math]}$ ×| $\text{[math]}$ |①
又P（s，t）在椭圆上，故有 $\text{[math]}$ 代入①整理得S²=27× $\text{[math]}$
令M= $\text{[math]}$ 得（M²+1）s²-8s+16-4M²=0，此方程恒有根
故△=64-4（M²+1）（16-4M²）≥0
解得M²≥3，故M≥ $\text{[math]}$ 或M≤- $\text{[math]}$ （舍）
∴S²=27× $\text{[math]}$ ≥27×3
∴S≥9
故选B．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．解题的关键是根据意建立起面积关于坐标的函数，掌握用判别式法求值域也是本题的一个难点，解题时运算技巧很重要．本题运算量很大，要严谨，避免因运算失误导致解题失败．