Question

【题目】已知函数 ．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间 上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵sinxcosx= sin2x，cos2x= （1+cos2x）

∴f（x）=﹣ sin（2x+ ）+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1

=2sin2x﹣2cos2x=2 sin（2x﹣ ）

因此，f（x）的最小正周期T= =π；

（2）解：∵0≤x≤ ，∴﹣ ≤2x﹣ ≤

∴当x=0时，sin（2x﹣ ）取得最小值﹣ ；当x= 时，sin（2x﹣ ）取得最大值1

由此可得，f（x）在区间 上的最大值为f（ ）=2 ；最小值为f（0）=﹣2．

【解析】（1）利用两角和的正弦公式将sin（2x+ ）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x﹣2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2 sin（2x﹣ ），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；（2）根据x∈ ，得﹣ ≤2x﹣ ≤ ．再由正弦函数在区间[﹣ ， ]上的图象与性质，可得f（x）在区间 上的最大值为与最小值．
【考点精析】利用两角和与差的正弦公式和二倍角的正弦公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两角和与差的正弦公式：；二倍角的正弦公式：．