Question

已知函数f（x）=log2

1+x

1-x

．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（3）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析：（1）解不等式

1+x

1-x

＞0，可得解集为（-1，1），即为所求函数的定义域．
（2）根据函数的奇偶性的定义，将f（-x）化简整理，并且与-f（x）加以比较，即可证明出函数f（x）是奇函数．
（3）运用函数单调性的定义，任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，将两函数值作差，根据对数的运算性质化简，判断出差的符号，从而得到f（x₁）＜f（x₂）．因此，函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．

解答：解：（1）∵由

1+x

1-x

＞0，得（1+x）（1-x）＞0，解之得-1＜x＜1，
∴f（x）的定义域是（-1，1）（3分）
（2）由（1）知x∈（-1，1），定义域关于原点对称
∵f（-x）=log2

1+(-x)

1-(-x)

=log2

1-x

1+x

而-f（x）=-log2

1+x

1-x

=log2(

1+x

1-x

)-1=log2

1-x

1+x

．
∴f（-x）=-f（x），可得函数f（x）是奇函数．（6分）
（3）设-1＜x₁＜x₂＜1，
f（x₂）-f（x₁）=log2

1+x2

1-x2

-log2

1+x1

1-x1

=log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

∵1-x₁＞1-x₂＞0；1+x₂＞1+x₁＞0，
∴

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1，结合底数2＞1得log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0．
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，得f（x₁）＜f（x₂）
因此，函数f（x）=log2

1+x

1-x

在（-1，1）上是增函数．

点评：本题考查了求函数的定义域求法、对数的运算法则、判断函数的奇偶性、定义法证明函数单调性等知识点，属于中档题．解题的关键是熟练运用函数的基本性质及其定义，熟练掌握对数的运算法则，以达到灵活运用．