Question

如图，线段DE把边长为2

2

的等边△ABC分成面积相等的两部分，点D在AB上，E在AC上，则线段DE长度的最小值为

 

．

Answer 1

分析：设AD=x，DE=y，由面积公式及已知条件DE把边长为2a的等边△ABC分成面积相等的两部分，可用x表示AE，在△ADE中，由余弦定理得到用x表示y，根据上述表达式，使用基本不等式即可求得DE的最小值．

解答：解：设AD=x，DE=y，
∵△ABC是边长为2

2

的等边三角形，
∴S_△ABC=

1

2

×（2

2

）²×sin60°，
又S_△ADE=

1

2

x•AE•sin60°，且S△ADE=

1

2

S_△ABC，
∴

1

2

×

1

2

×（2

2

）²×sin60°=

1

2

x•AE•sin60°，
解得AE=

4

x

，
在△ADE中，由余弦定理可得，y²=x²+（

4

x

）²-2•

4

x

•x•cos60°=x²+

16

x2

-4，
∴y=

x2+ 16 x2 -4

，（

2

≤x≤2

2

），
由基本不等式可得，x²+

16

x2

-4≥2

x2• 16 x2

-4=4，
当且仅当x²⁼

16

x2

，即x=2时取“=”，
∴当x=2时，y取得最小值为2，
故线段DE长度的最小值为2．
故答案为：2．

点评：本题考查了三角形的面积、余弦定理及基本不等式，充分理解以上知识是解决此问题的关键．属于中档题．