题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的离心率为
6
3
，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx-2与椭圆C交与A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．
（Ⅰ）由已知2a=6，
c
a
=
6
3
，
解得a=3，c=
6
，
所以b2=a2-c2=3，
所以椭圆C的方程为
x2
9
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）由
x2
9
+
y2
3
=1
y=kx-2
得，（1+3k2）x2-12kx+3=0，
直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=144k2-12（1+3k2）＞0，
解得k2＞
1
9
．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=
12k
1+3k2
，x1x2=
3
1+3k2
，
计算y1+y2=k(x1+x2)-4=k•
12k
1+3k2
-4=-
4
1+3k2
，
所以，A，B中点坐标为E(
6k
1+3k2
，-
2
1+3k2
)，
因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，kPE•kAB=-1，
所以
-
2
1+3k2
-1
6k
1+3k2
•k=-1，
解得k=±1，
经检验，符合题意，
所以直线l的方程为x-y-2=0或x+y+2=0．
练习册系列答案
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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