Question

设函数f（x）=

x

e2x

+c（e=2.71828…是自然对数的底数，c∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间、最大值；
（Ⅱ）试讨论函数y=f（x）-|lnx|零点的个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导数然后在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，f′（x）＞0的区间为单调增区间，f′（x）＜0的区间为单调减区间，进而得到函数的最大值；
（Ⅱ）先讨论x的范围得到求出函数g（x）的函数解析式，利用导数法分析其单调性后，进而得到函数只有最大值，分最大值等于、大于、小于三种情况讨论函数g（x）的零点的个数，最后综合讨论结果，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

1-2x

e2x

，
令f′（x）＞0，解得x＜

1

2

，令f′（x）＜0，解得x＞

1

2

所以f（x）的单调递增区间为(-∞，

1

2

)，单调递减区间为(

1

2

，+∞)，f（x）的最大值为f(

1

2

)=

1

2e

+c
（Ⅱ）令g(x)=f(x)-|lnx|=

x

e2x

+c-|lnx|，
①当0＜x＜1时g(x)═

x

e2x

+c+lnx，所以g′(x)=

1-2x

e2x

+

1

x

=

x-2x2+e2x

xe2x

在0＜x＜1时，函数y=e^2x的值域为（1，e），函数y=2x²-x的值域为(-

1

8

，1)，
所以在0＜x＜1上，恒有2x²-x＜e^2x，即e^2x+x-2x²＞0，
所以y=g′（x）对任意x∈（0，1）大于零恒成立，所以g（x）在（0，1）上单调递增；
②当x≥1时，g(x)═

x

e2x

+c-lnx，所以g′(x)=

1-2x

e2x

-

1

x

=

x-2x2-e2x

xe2x

，
显然在x≥1时有函数y=x-2x²=x（1-2x）＜0恒成立，
所以函数y=x-2x²-e^2x＜0在x≥1时恒成立，
所以g′（x）＜0对任意x∈（1，+∞）恒成立，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减；
由①②得，函数g(x)=

x

e2x

+c-|lnx|在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以g（x）的最大值为g(1)=

1

e2

+c
当

1

e2

+c=0，即c=-

1

e2

时，函数y=f（x）-|lnx|有且只有一个零点；
当

1

e2

+c＞0，即c＞-

1

e2

时，函数y=f（x）-|lnx|有两个不等的零点；
当

1

e2

+c＜0，即c＜-

1

e2

时，函数y=f（x）-|lnx|没有零点．

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的最值，利用导数研究函数的极值，是导数问题比较综合的应用，难度较大，特别是第（Ⅱ）问中分类标准的确定，一定要引起足够的重视．