Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=mx+2，设F（x）=f（x）-g（x）．求F（x）在[-1，2]上的最小值F（m）；
（3）求F（m）在m∈[-1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=1可得c，由f（x+1）-f（x）=2x，可得a，b的方程组，解出a，b即可；
（2）表示出F（x），根据对称轴在区间的左边、内部、右边三种情况进行讨论可得F（m）；
（3）由F（m）的表达式可知其单调性，由单调性可求最小值；

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由f（0）=1得c=1，
又f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+c-（ ax²+bx+c）=2x，即2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

，解得a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=x²-x+1-（ mx+2）=x²-（m+1）x-1，
当

m+1

2

≤-1，即m≤-3时，F（x）在[-1，2]上递增，∴F（m）=F（-1）=m+1；
当-1＜

m+1

2

＜2，即-3＜m＜3时，F（m）=F（

m+1

2

）=

-4-(m+1)2

4

；
当

m+1

2

≥2，即m≥3时，F（x）在[-1，2]上递减，∴F（m）=F（2）=1-2m；
∴F（m）

m+1(m≤-3) -4-(m+1)2 4 (-3＜m＜3) -2m+1(m≥3)

；
（3）当m∈[-1，2]时，F（m）=

-4-(m+1)2

4

．
F（m）在[-1，2]上递减，
∴F（m）_min=F（2）=-

13

4

；

点评：本题考查二次函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想．