Question

如图，长方体中，，点是的中点.

(1)求三棱锥的体积；

(2)证明：;

(3)求二面角的正切值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）证明过程详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：本题主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、锥体体积等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力、推理论证能力.第一问，求锥体体积，关键是找到锥体的高和底面面积；第二问，先利用直线与平面的判定定理证出面，所以面内的线段；第三问，先利用直线与平面的判定定理证出面,所以面内的线段，所以就找到了二面角的平面角，在直角三角形中求正切.

试题解析：(1)由长方体性质可得，面，所以是三棱锥的高，

又点是的中点，, 所以,,　

                    2分

三棱锥的体积  4分

（2）

连结,　因为是正方形，所以

又面面，

所以          ６分

又　所以，面

面,　所以，        ８分

(3)　因为面,面,所以,　

由（１）可知，,　

所以，面,　                  10分

面,　面

,　　

是二面角的平面角　

直角三角形中，　

二面角的正切值为      13分

解法（二）

如图，以为原点，为轴建立空间坐标系

因为点是的中点，且

则

                  ６分

=

所以，                       ８分

（3）设是平面的法向量，则,

,得方程组　　令得

所以，　                      10分

又,设与夹角为

则　

二面角的正切值为.               13分

考点：1.勾股定理；2.三棱锥的体积；3.直线与平面的判定定理；4.向量法.