题目内容
【题目】已知椭圆
短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过圆
上任意一点
作圆
的切线
， 
与椭圆
交于
两点，以
为直径的圆是否过定点，如过，求出该定点；不过说明理由.
【答案】（1）
（2）坐标原点
【解析】试题分析：（1）由题意得直角三角形为等腰直角三角形，所以
，再根据面积得
，解得
（2）先探索：以
为直径的圆过坐标原点，再以算代证：设
，则只需证明
，设
方程
，则只需证
，由直线与圆相切可得
，再联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理给予证明.
试题解析：（I）因为椭圆
短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以
,
故椭圆
的方程为
，
（Ⅱ）圆
的方程为
,设
为坐标原点
当直线
的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为
，
则
，所以
所以
为直径的圆过坐标原点
当直线
的斜率存在时，设其方程设为
，设
因为直线与相关圆相切，所以
联立方程组
得
,
即
,
,
所以
为直径的圆恒过坐标原点
.
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