Question

某地有A、B、C、D四个村庄，恰好座落在边长为2 km的正方形顶点上，为发展经济，当地政府决定建立一个使得任何两个村庄都有通道的路网，道路网由一条中心道及四条支线组成，要求四条支道的长度相等（如图所示）

 

 

 

 

 

 

（1）若道路网的总长度不超过5.5 km，试求中心道的取值范围；

（2）问中心道长为何值时，道路网的总长度最短？

Answer 1

答案：
解析：

解：设中心道长度为2x. （1）由题意得2x+4≤5.5，化简得48x2－40x+7≤0， 解得≤x≤ ∴中心道长的取值范围是[ （2）∵y=2x+4, (y－2x)2=16(2－2x+x2) ∴12x2+(4y－32)x+32－y2=0                                                                                                                                                     ① ∵x∈R, ∴Δ=(4y－32)2－4×12(32－y2)≥0 由于y＞0, ∴y≥2+2 将ymin=2+2，代入方程①得： 12x2+(8+8—32)x+32－(2+2)2=0，解得x=1－ 答：当道路网长度不超过5.5 km时，中心道长的取值范围是[； 中心道长为（2－）km时，道路网总长度最短.