Question

已知椭圆的中心是坐标原点O,它的短轴长为2,右焦点为F,右准线l与x轴相交于点E,=,过点F的直线与椭圆相交于A,B两点,点C和点D在l上,且AD∥BC∥x轴.

(1)求椭圆的方程及离心率;

(2)当|BC|=|AD|时,求直线AB的方程;

(3)求证:直线AC经过线段EF的中点.

Answer 1

解:(1)设椭圆方程为+=1(a＞b＞0).由2b=2得b=1.

又=,∴解得a=,c=1.

∴椭圆方程为+y²=1.

离心率e=.

(2)由(1)知点F坐标为(1,0),又直线AB的斜率存在,设AB的斜率为k,

则AB的方程为y=k(x-1).

由得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0,(*)

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则x₁,x₂是(*)方程两根,且x₁＜x₂,

∴x₁=,x₂=.

∵AD∥BC∥x轴,且|BC|=|AD|,

∴-x₂=(-x₁),即2=(2),

解得k=±1.

∴直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.

(3)证明:∵点F(1,0),E(2,0),

∴EF中点N的坐标为(,0).

①当AB⊥x轴时,A(1,y₁),B(1,-y₁),C(2,-y₁),

那么此时AC的中点为(,0),即AC经过线段EF的中点N.

②当AB不垂直x轴时,则直线AB斜率存在,

设直线AB的方程为y=k(x-1).

由(*)式得x₁+x₂=,x₁x₂=.

又∵x₁²=2-2y₁²＜2,得x₁≠0,

故直线AN,CN的斜率分别为k₁==,k₂==2k(x₂-1),

∴k₁-k₂=2k·.

又∵(x₁-1)-(x₂-1)(2x₁-3)=3(x₁+x₂)-2x₁x₂-4

=［12k²-4(k²-1)-4(1+2k²)］=0,

∴k₁-k₂=0,即k₁=k₂.且AN,CN有公共点N,∴A,C,N三点共线.

∴直线AC经过线段EF的中点N.

综上所述,直线AC经过线段EF的中点.

说明:其他正确解法按相应步骤给分.