Question

下列五个函数中：①y=2^x；②y=；③y=；④y=；⑤y=cos2x，当0＜x₁＜x₂＜1时，使 恒成立的函数是    将正确的序号都填上）．

Answer 1

【答案】分析：因为 恒成立，表示连接两点A（x₁，f（x₁）），B （x₂，f（x₂））的线段的中点纵坐标小于f（x）在曲线AB中点（，）的纵坐标，也就是说f（x）的图象“上凸”．所以只需判断哪个函数的图象“上凸”即可．
解答：解：要使当0＜x₁＜x₂＜1时，使 恒成立，
可得对任意两点A（x₁，f（x₁）），B （x₂，f（x₂）），曲线f（x）在A，B两点横坐标的中点的纵坐标，大于A、B两点的纵坐标的一般，也就是说f（x）的图象“上凸”可以画出①②③④⑤的图象进行判断：
在0＜x₁＜x₂＜1上为上凸的图象：

可以看见②③的图象是上凸的，对于⑤可以进行研究：y=cos2x，周期T=π，要求在0＜x₁＜x₂＜1上是上凸的，

如上图：在（，1）上是下凹的，在（0，）上是上凸的，故⑤错误；
综上：②③是使 恒成立的函数，
故答案为：②③；
点评：此题主要考查指数函数的性质和对数函数的性质，考查的知识点比较全面，利用数形结合的方法会比较简单，是一道好题；