Question

已知圆C的圆心在直线x-y-4=0上，并且经过两圆x²+y²-4x-3=0和x²+y²-4y-3=0的交点，则圆C的方程为

 

．

Answer 1

分析：把两圆的方程联立求出解集即可得到交点A和B的坐标，利用中点坐标公式得到AB的中点坐标，求出直线AB的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为-1得到中垂线的斜率，写出中垂线的方程，与x-y-4=0联立即可解出圆心坐标，然后利用两点间的距离公式求出圆心到A的距离即为圆的半径，根据圆心与半径写出圆的方程即可．

解答：解：联立两圆方程得

x2+y2-4x-3=0① x2+y2-4y-3=0②

，①-②得y=x③，把③代入①得2x²-4x-3=0，解得x=y=

2± 10

2

所以两圆的交点坐标为A（

2+ 10

2

，

2+ 10

2

），B（

2- 10

2

，

2- 10

2

）
则两交点的中点坐标为（1，1），直线AB垂直平分线的斜率为-1，
所以AB垂直平分线的方程为：y-1=-（x-1）与x-y-4=0联立得

x+y-2=0 x-y-4=0

解得

x=3 y=-1

，所以圆心坐标为（3，-1）
圆的半径r=

( 2+ 10 2 -3)2+( 2+ 10 2 +1)2

=

13

所以圆的方程为（x-3）²+（y+1）²=13，化简得x²+y²-6x+2y-3=0
故答案为：x²+y²-6x+2y-3=0

点评：此题考查学生会求两圆的交点坐标，掌握两直线垂直时斜率的关系，灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道中档题．