Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A、B，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由题设可知，圆O的方程为x²+y²=b²，
因为直线l：x-y+2=0与圆O相切，故有

|2|

12+(-1)2

=b，
所以b=

2

，已知e=

c

a

=

3

3

，
所以有a²=3c²=3（a²-b²），
解得a²=3，
所以椭圆C的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）设点A（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），则y₀=kx₀，
设AB交x轴于点D，由对称性知：
S_△OAB=2S_△OAD=2×

1

2

x₀y₀=kx02，
由

y0=kx0 x02 3 + y02 2 =1

，解得x02=

6

2+3k2

，
所以S_△OAB=k•

6

2+3k2

=

6

2 k +3k

≤

6

2 2 k •3k

=

6

2

，
当且仅当

2

k

=3k，即k=

6

2

时取等号，
所以△OAB面积的最大值为

6

2

．