Question

【题目】若数列与函数满足：①的任意两项均不相等，且的定义域为；②数列的前的项的和对任意的都成立，则称与具有“共生关系”．

（1）若，试写出一个与数列具有“共生关系”的函数的解析式；

（2）若与数列具有“共生关系”，求实数对所构成的集合，并写出关于，，的表达式；

（3）若，求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有‘共生关系’”的充要条件是“点在射线上”．

Answer 1

【答案】（1） （2）实数对所构成的集合为，且，其中，. （3）证明见解析.

【解析】

(1) 由，可知，从而可得.
(2) 由题意得,当，可得，当时，与的任意两项均不相等相矛盾,故此时不合题意；当，，不合题意，当，也不合题意. 若，则，由，，可得，的任意两项均不相等，故，可知，得出答案.
(3)先证必要性，若是公差的等差数列，，可得，故解得，再证充分性，若点在射线上，

即，可得，从而得证.

(1)由，可知

所以与数列具有“共生关系”的函数的解析式可以为：.

(2)由题意得，令，可得，即.

①若，此时不成立，不合题意，

若，由，可得，又，可得，与的任意两项均不相等相矛盾,故此时不合题意.

②若，可得

若，则由与，可得，不合题意.

若，则，当时，，不合题意.

若，则，由，

可得，即

此时数列是首项为，公比为的等比数列，又的任意两项均不相等，

故，可知

所以实数对所构成的集合为，且，其中

(3)(必要性)若是公差的等差数列，且与具有“共生关系”.

则由，

可得:

故，即恒成立.

故解得

又由,可得,

由,可知

所以点在射线上.

(充分性)若点在射线上，则

又方程等价于，

且，取，它显然是正数且满足

令，则

，

故当时，

这里无穷数列是首项为，公差为的无穷等差数列.

其中每一项都是正数，所以存在每一项都是正数的无穷等差数列，使得与具有“共生关系”.