Question

【题目】已知函数.

(I)求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)当时，求证：函数存在极小值；

(Ⅲ)请直接写出函数的零点个数．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）当或时，函数有一个零点 ；当且时，函数有两个零点.

【解析】

(1) 求出函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线的方程；(2)，说明有可变零点即可；(3)由题意可得函数的零点个数．

（1）的定义域为

因为

所以切点的坐标为

因为

所以切线的斜率，

所以切线的方程为

（2）方法一：

令

因为且，

所以，，

从而得到在上恒成立

所以在上单调递增且，

所以在上递减，在递增；

所以时，取得极小值，问题得证

方法二：

因为

当时，

当时， ，所以

当时， ，所以

所以在上递减，在递增；

所以时，函数取得极小值，问题得证.

（3）当或时，函数有一个零点 ；

当且时，函数有两个零点.