Question

（本题满分14分）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且.

   （1）求椭圆的离心率；

   （2）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；

   （3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由。  

Answer 1

（1）设B（x₀，0），由（c，0），A（0，b）知 

，由于 即为中点．

       故故椭圆的离心率                                    ------------------4分

       （2）由（1）知得于是（，0）, B，

       △ABF的外接圆圆心为（，0），半径r=|FB|=,

所以，解得=2，∴c =1，b=， 

所求椭圆方程为.                         ------------------8分

（3）由（2）知, ：

                  代入得  

       设，

       则，     ------------------10分

      

       由于菱形对角线垂直，则

       故则

                      ------------------12分

       由已知条件知且     

       故存在满足题意的点P且的取值范围是．        ------------------14分