Question

11．已知f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
（1）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（2）求函数y=f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]内的值域．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递减区间．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]内的值域．

解答 解：（1）对于函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），当2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
即kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈Z时函数单调递增．
所以f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，知2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，从而sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，1]，
故所求值域为[-1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．