Question

若复数

cosα-i

2+i

(α∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则角α的值可能为（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  3

• C、

  2π

  3

• D、

  5π

  6

Answer 1

分析：根据题意需要分子分母同乘以分母的共轭复数，对式子进行分母实数化进行化简，再由实部为求出α值．

解答：解：由题意得，

cosα-i

2+i

=

(cosα-i)(2-i)

(2+i)(2-i)

=

(2cosα-1)-(cosα+2)i

5

=

2cosα-1

5

-

cosα+2

5

i
∵

cosα-i

2+i

是纯虚数，∴

2cosα-1

5

=0，即2cosα-1=0，解得α=

π

3

+2kπ（k∈Z）
故选B．

点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法和纯虚数的定义，当两个复数相除时常用的方法为：分子和分母同时除以分母的共轭复数，整理出实部和虚部，由虚部为零进行求解．