Question

已知a为实常数，y=f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x－+1．

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若f(x)≥a－1对一切x＞0成立，求a的取值范围．

Answer 1

已知a为实常数，y=f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x－+1．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)≥a－1对一切x＞0成立，求a的取值范围．

（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在区间(－∞，0)的单调性即可．

f ′(x)＝2＋，令f ′(x)＝0，得x＝－a． ………………………2分

①当a≤0时，f ′(x)＞0，故f(x)在区间(－∞，0)是单调递增．  ……………………… 4分

②当a＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x)＞0，所以f(x)在区间(－∞，－a )是单调递增．

x ∈(－a，0)，f ′(x)＜0，所以f(x)在区间(－a，0)是单调减．……………………… 6分

综上所述：当a≤0时，f(x)单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a＞0时，f(x)单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a，0)，(0，a)．

（2）解：因为f(x)为奇函数，所以当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－2 x－＋1)＝2x＋ －1．… 9分

①当a＜0时，要使f(x)≥a－1对一切x＞0成立，即2x＋ ≥a对一切x＞0成立．

而当x＝－＞0时，有－a+4a≥a，所以a≥0，则与a＜0矛盾．所以a＜0不成立． ②当a＝0时，f(x)＝2x－1＞－1=a－1对一切x＞0成立，故a＝0满足题设要求．

③当a＞0时，由(1)可知f(x)在(0，a)是减函数，在(a ，+∞)是增函数．

所以fmin(x)=f(a)＝3a－1＞a－1，所以a＞0时也满足题设要求．  

综上所述，a的取值范围是．