Question

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的非负半轴重合，则由曲线C₁：ρcos²θ=2sinθ和C₂：

x=t y=4+t

（t为参数）围成的平面图形的面积是

 

．

Answer 1

分析：设出曲线C₁上任一点的直角坐标为P（x，y），将极坐标方程转换为直角坐标方程，同时将参数方程也转换为直角坐标方程，联立两个解析式求出交点，利用定积分求出围成的面积．

解答：解：设曲线C₁上任一点的直角坐标为P（x，y），则由

x=ρcosθ y=ρsinθ

由ρcos²θ=2sinθ得到ρ²cos²θ=2ρsinθ
∴x²=2y，即y=

1

2

x2
由C₂得y=x+4，由

y= 1 2 x2 y=x+4

得A（-2，2）B（4，8）
∴所求面积S=∫_-2⁴（x+4-

1

2

x2）dx=[-

1

6

x3+

1

2

x2+4x]|_-2⁴=18
故答案为18

点评：考查学生转换极坐标的能力，利用定积分求图形面积的能力．