Question

设，g（x）是f（x）的反函数。
（Ⅰ）求g（x）；
（Ⅱ）当x∈[2，6]时，恒有成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）当时，试比较f（1）+f（2）+…+f（n）与n+4的大小，并说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得
故；
（Ⅱ）由得
①当时，
又因为
所以
令
则
列表如下：

所以h（x）_最小值=5，所以0<t<5
当时，
又因为x∈ [2，6]
所以t>（x-1）²（7-x）>0
令h（x）=（x-1）²（7-x），x∈[2，6]，
由①知h（x）_最大值=32
所以t>32
综上，当a>1时，0<t<5
当0<a<1时，t>32。
（Ⅲ）设，则
当时，
当n≥2时，设k≥2，k∈N*时
则
          
所以
从而
所以f（1）+f（2）+…+f（n）<f（1）+n+1≤n+4
综上，总有，f（1）+f（2）+…+f（n）< n+4。