题目内容

已知数列{an}满足a1=1，an=2an-1+2n-1（n≥2，n∈N*），又数列{
an+λ2n
}为等差数列．
（1）求实数λ的值及{an}的通项公式an
（2）求数列{an}的前n项和Sn（最后结果请化成最简式）
分析：（1）由{
an+λ
2n
}为等差数列可得，n≥2，
an+λ
2n
-
an-1+λ
2n-1
=
2n-1-λ
2n
=1-
1+λ
2n
为常数，从而可求λ，及通项
（2）利用错位相减及分组求和的方法求和即可
解答：解：（1）n≥2，
an+λ
2n
-
an-1+λ
2n-1
=
2n-1-λ
2n
=1-
1+λ
2n

因为为等差数列  所以1-
1+λ
2n
为常数，所以λ=-1----（4分）
n≥2，
an+1
2n
-
an-1+1
2n-1
=1且
a1+1
21
=1，得
an+1
2n
=n，
所以an=n×2n-1-------------------（7分）
（2）Sn=（1×21+2×22+3×23+…+n×2n）-n
记 Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n2Tn
=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1
得Tn=（n-1）2n+1+2------------------（12分）
所以Sn=（n-1）2n+1+2-n-----------------（14分）
点评：本题主要考查了等差数列的定义的应用，及乘公比错误相减得求和方法在解题中的应用，属于基本方法的综合应用．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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