Question

如果(x+x

x

)n的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是（　　）

• A、C₁₀⁶x⁸
• B、

  C

  5 10

  x7

  x

• C、C₈⁴x⁶
• D、

  C

  6 11

  x8

  x

Answer 1

分析：根据二项式定理所有奇次项的系数c_n⁰+c_n²+…+c_n^n-1=

1

2

（c_n⁰+c_n¹+c_n²+…+c_nⁿ）=

1

2

×2ⁿ=2^n-1=512得到n的值，然后利用二项式定理找到展开式的中间项即可．

解答：解：根据二项式定理所有奇次项的系数c_n⁰+c_n²+…+c_n^n-1=

1

2

（c_n⁰+c_n¹+c_n²+…+c_nⁿ）
=

1

2

×2ⁿ=2^n-1=512得：2^n-1=512，∴n=10，即(x+x

x

)10，所以第六项为中间项，
则根据二项式定理得：中间项为T6=

C

5 10

x5(

x

)5=

C

5 10

x7

x

.
故选B

点评：考查学生会利用二项式定理解决数学问题的能力．理解展开式中所有奇数项的系数之和等于所有偶数项的系数之和且两者相加等于2ⁿ．