题目内容

若函数f（x）是可导函数，则
lim
θ→0
sin(x+θ)-sinx
θ
等于（　　）
A、不存在B、0
C、sinxD、cosx
分析：利用导数的定义，则
lim
θ→0
sin(x+θ)-sinx
θ
等于函数sinx的导数，由 （sinx）′=cosx 得到结果．
解答：解：∵函数f（x）是可导函数，则
lim
θ→0
sin(x+θ)-sinx
θ
等于函数sinx的导数，
∵（sinx）′=cosx，
故选D．
点评：本题考查导数的定义，正弦函数的导数，判断所求的式子就是正弦函数的导数，是解题的关键．
练习册系列答案
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下列命题中：①函数，f（x）=sinx+
2
sinx
（x∈（0，π））的最小值是2
2
；②在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；③如果正实数a，b，c满足a + b＞c则
a
1+a
+
b
1+b
＞
c
1+c
；④如果y=f（x）是可导函数，则f′（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是（　　）
A、①②③④B、①④
C、②③④D、②③
设f（x）是可导函数，若当△x→0时，
f(x0-2△x)-f(x0)△x
→2，则f′(x0)=
-1
-1
．
已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；
（2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x)-
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=0在（x1，x2）恒有实数解
（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得f′(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当0＜a＜b时，
b-a
b
＜ln
b
a
＜
b-a
a
（可不用证明函数的连续性和可导性）．
若函数f（x）是可导函数，则
lim
θ→0
sin(x+θ)-sinx
θ
等于（　　）
A．不存在B．0C．sinxD．cosx

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