Question

已知幂函数f（x）=x-m2+2m+3（m∈Z） 为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=

f(x)

+(2b+1)x-b-1，若g（x）=0的两个实根分别在区间（-3，-2），（0，1）内，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用幂函数f（x）=x-m2+2m+3（m∈Z） 为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数，可得不等式，由此可求函数f（x）的解析式；
（2）利用g（x）=0的两个实根分别在区间（-3，-2），（0，1）内，可得

g(-3)＞0 g(-2)＜0 g(0)＜0 g(1)＞0

，由此可求实数b的取值范围．

解答：解：（1）∵幂函数f（x）=x-m2+2m+3（m∈Z） 为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数
∴-m²+2m+3＞0
∴-1＜m＜3
∵m∈Z，函数f（x）为偶函数
∴m=1，此时f（x）=x⁴；
（2）g（x）=

f(x)

+(2b+1)x-b-1=x²+（2b+1）x-b-1
∵g（x）=0的两个实根分别在区间（-3，-2），（0，1）内，
∴

g(-3)＞0 g(-2)＜0 g(0)＜0 g(1)＞0

，∴

b＜ 5 7 b＞ 1 5 b＞-1

，解得

1

5

＜b＜

5

7

．

点评：本题考查幂函数，考查函数的单调性与奇偶性，考查方程根问题，属于中档题．