Question

如图，已知抛物线y²=4x的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M、N．
（Ⅰ）求y₁y₂的值；
（Ⅱ）设直线AB的斜率为k，求证：直线MN的斜率为2k．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设过P的直线方程为x=my+2，代入y²=4x，可得y²-4my-8=0，利用韦达定理，可得结论；
（Ⅱ）证明：设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），设AM直线为x=ty+1，联立y²=4x得y²-4ty-4=0，求出M，N的坐标，再利用斜率公式，即可得证．

解答：（Ⅰ）解：设过P的直线方程为x=my+2，代入y²=4x，消去x得y²-4my-8=0，
∴y₁y₂=-8
（Ⅱ）证明：设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）
设AM直线为x=ty+1，联立y²=4x，消去x得y²-4ty-4=0，∴y₁y₃=-4，得y3=

-4

y1

同理得y4=

-4

y2

，
又∵x1x3=

y12y32

16

=1，∴x3=

1

x1

，
同理得x4=

1

x2

，

∴kMN= y4-y3 x4-x3 = -4 y2 - -4 y1 1 x2 - 1 x1 = 4(y2-y1) y1y2 x1-x2 x1x2 = x1x2 y1y2 • 4(y2-y1) -(x2-x1) = y12y22 16 y1y2 •(-4)k= y1y2 16 •(-4)k=2k

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．