Question

13．由动点 P向圆x²+y²=1引两条切线，切点分别为 A、B，若$\overrightarrow{{P}{A}}$•$\overrightarrow{{P}{B}}$=$\frac{3}{2}$，则动点 P的轨迹方程为（　　）

• A． x²+y²=2
• B． x²+y²=$\frac{9}{4}$
• C． x²+y²=4
• D． x²+y²=9

Answer 1

分析 设点P的坐标为（x，y），得到|$\overrightarrow{PO}$|²=x²+y²，结合$\overrightarrow{{P}{A}}$•$\overrightarrow{{P}{B}}$=$\frac{3}{2}$，利用数量积公式展开后再由二倍角的余弦把cos∠APB用P的坐标表示，代入后得答案．

解答 解：设点P的坐标为（x，y），则|$\overrightarrow{PO}$|²=x²+y²，
由$\overrightarrow{{P}{A}}$•$\overrightarrow{{P}{B}}$=$\frac{3}{2}$，得|$\overrightarrow{{P}{A}}$|²cos∠APB=$\frac{3}{2}$，则（|$\overrightarrow{PO}$|²-1）cos∠APB=$\frac{3}{2}$，
设∠APB=2α，则cos∠APB=1-2sin²α=1-2•$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
∴（x²+y²-1）（1-2•$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$）=$\frac{3}{2}$
整理得：x²+y²=4．
故选：C．

点评 本题主要考查了求轨迹方程的问题，考查了平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，属中档题．