Question

函数f(x)=

x

x+1

的单调增区间是

（-∞，-1），（-1，+∞）

．

Answer 1

分析：首先求出函数的定义域，然后利用函数的单调性的证明方法证明函数在其定义域内的两个不同区间上的单调性．

解答：解：函数f(x)=

x

x+1

的单调增区间是（-∞，-1），（-1，+∞）．
事实上，
函数f(x)=

x

x+1

的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）．
当x₁＜x₂＜-1时，
f(x1)-f(x2)=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1(x2+1)-x2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

x1x2+x1-x1x2-x2

(x1+1)(x2+1)

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

．
∵x₁＜x₂＜-1，∴x₁+1＜0，x₂+1＜0，x₁-x₂＜0．
∴

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

＜0．
则f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f(x)=

x

x+1

在区间（-∞，-1）上为增函数；
当x₁＞x₂＞-1时，
f(x1)-f(x2)=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1(x2+1)-x2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

x1x2+x1-x1x2-x2

(x1+1)(x2+1)

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

．
∵x₁＞x₂＞-1，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＞0．
∴

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

＞0．
则f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数f(x)=

x

x+1

在区间（-1，+∞）上为增函数．
综上，函数f(x)=

x

x+1

的单调增区间是（-∞，-1），（-1，+∞）．
故答案为（-∞，-1），（-1，+∞）．

点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，证明时注意因式分解要彻底，便于判断差式的符号，该题还需要注意的是下结论时不能取并集，因此该题是易错题．