Question

已知函数f(x)＝，设a、b∈R且a≠b，求证：|f(a)－f(b)|＜|a－b|．

Answer 1

答案：
解析：

证法一要证|f(a)－f(b)|＜|a－b|， 　　只要证|－|＜|a－b|， 　　只要证(－)2＜(a－b)2， 　　即证2＋a2＋b2－2＜a2＋b2－2ab， 　　即证1＋ab＜，　　① 　　当ab≤－1时，①式显然成立； 　　当ab＞－1时，要证①式成立，只要证(1＋ab)2＜(1＋a2)(1＋b2) 　　只要证2ab＜a2＋b2．　　② 　　∵a≠b，∴②式成立． 　　故原不等式成立． 　　分析一不等式中含有根号和绝对值符号时，可从求证不等式入手，采用分析法证明． 　　证法二∵|f(a)－f(b)|＝|－| 　　＝＝|a－b|·． 　　∵＞|a|，＞|b|， 　　∴＋＞|a|＋|b|，而|a|＋|b|≥|a＋b|， 　　∴＋＞|a＋b|， 　　∴＜1． 　　又∵a≠b，即|a－b|≠0． 　　∴|a－b|·＜|a－b|， 　　即|f(a)－f(b)|＜|a－b|． 　　分析二：要证明的不等式可进行分子有理化，转化为分式不等式，然后用缩小分母或扩大分子的方法去证明这个不等式．