Question

已知函数f（x）=-3x-x³，x∈R，若θ∈[0，

π

2

]时，不等式f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＜0恒成立，则实数m的取值范围是

m＞4-2

2

．

Answer 1

分析：判断f（x）为奇函数，在R上为减函数，原不等式可化为f（cos2θ-3）＜f（2mcosθ-4m），即cos2θ-3＞2mcosθ-4m，令t=cosθ，原不等式可转化为t∈[-1，1]时，是否存在m∈R，使得g（t）=t2-mt+2m-2＞0恒成立，将m分离出来利用基本不等式即可求出m的取值范围．

解答：解：函数f（x）=-3x-x³，故f（-x）=3x-（-x）³=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
∵f′（x）=-3-3x²＜0，
∴f（x）在R上为减函数，
所以原不等式可化为f（cos2θ-3）＜f（2mcosθ-4m），
∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，即cos²θ-mcosθ+2m-2＞0．
令t=cosθ，则原不等式可转化为：当t∈[-1，1]时，是否存在m∈R，使得g（t）=t²-mt+2m-2＞0恒成立．
由t²-mt+2m-2＞0，t∈[-1，1]，得m＞t-2+

2

t-2

+4，t∈[-1，1]时，
令h（t）=（2-t）+

2

2-t

≥2

2

，即当且仅当t=2-

2

时，h（t）min=2

2

，
故m＞（t-2+

2

t-2

+4）max=4-2

2

．
故答案为：m＞4-2

2

点评：本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，以及利用基本不等式求最值，同时考查了转化的思想，属于中档题．