Question

已知函数f（x）的定义域为[-

1

2

，

3

2

]，a＞0，求F（x）=f（ax）+f（

x

a

）的定义域．

Answer 1

分析：根据题目中使函数有意义的x的值，分别就a≥1、0＜a＜1，求得函数f（ax）和f（

x

a

））的定义域，再求它们的交集即可．

解答：解：设μ₁=ax，μ₂=

x

a

，其中a＞0，
则F（x）=f（μ₁）+f（μ₂）且μ₁、μ₂∈[-

1

2

，

3

2

]．
∴

- 1 2 ≤ax≤ 3 2 - 1 2 ≤ x a ≤ 3 2

⇒

- 1 2a ≤x≤ 3 2a - a 2 ≤x≤ 3 2 a

①当a≥1时，-

a

2

≤-

1

2a

，

3

2a

≤

3

2

a，故不等式组的解为-

1

2a

≤x≤

3

2a

；
②当0＜a＜1时，-

a

2

≥-

1

2a

，

3

2a

≥

3

2

a不等式组的解为-

a

2

≤x≤

3a

2

．
∴当a≥1时，F（x）的定义域为[-

1

2a

，

3

2a

]；
当0＜a＜1时，F（x）的定义域为[-

a

2

，

3a

2

]．

点评：本题属于以函数的定义域为平台，求集合的交集的基础题，考查分类讨论思想，也是高考常考的题型．