Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d满足f（0）=f（x₁）=f（x₂）=0，且0＜x₁＜x₂．若f（x）在（x₂，+∞）上是增函数，则b的取值范围是

b＜0

．

Answer 1

分析：由已知，0，x₁，x₂ 是函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的三个零点，可以画出它的大致图象．分两种情况．结合图象分析求解．

解答：解：∵f（0）=0∴d=0，∴f（x）=ax³+bx²+cx=x（ax²+bx+c），又f（x₁）=f（x₂）=0，且0＜x₁＜x₂，∴x₁，x₂是ax²+bx+c=0两根，且a≠0．
由韦达定理x₁+x₂ =-

b

a

＞0，①
∴f（x）=ax³+bx²+cx+d的大致图象为：
当a＞0时
由图，f（x）在（x₂，+∞）上是增函数，由①得，b＜0
②当a＜0时，
f（x）在（x₂，+∞）上不是增函数，不合题意．
故答案为：b＜0

点评：本题考查三次函数的图象，及函数单调区间的概念．数形结合的思想方法起到了重要作用．