题目内容

已知数列{an}满足：{
an
n
}是公差为1的等差数列，且an+1=
n+2
n
an+1．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）设bn=
1
4an
(n∈N*），求证：b1+b2+…+bn＜2
n
-1．
分析：（1）由于{
an
n
}是公差为1的等差数列，可得
an+1
n+1
-
an
n
=1，又an+1=
n+2
n
an+1，化简可求数列{an}的通项公式an；
（2）bn=
1
4an
=
1
n
=
2
2
n
＜
2
n
+
n-1
=2(
n
-
n-1
)，从而可利用叠加法求解可得．
解答：解：（1）∵{
an
n
}是公差为1的等差数列，∴
an+1
n+1
-
an
n
=1，∵an+1=
n+2
n
an+1，∴an=n2；
（2）bn=
1
4an
=
1
n
=
2
2
n
＜
2
n
+
n-1
=2(
n
-
n-1
)，∴b1+b2+…+bn＜=2(1+
2
-1+
3
-
2
+…+
n
-
n-1
)＜2
n
-1．，
点评：本题主要考查数列通项公式的求解，考查放缩法及叠加法求和，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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