Question

各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₁a₇=4，a₆=8，函数f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₀x¹⁰，则f（

1

2

）=

5

4

．

Answer 1

分析：正数的等比数列{a_n}满足a₁a₇=4，a₆=8，可以求出等比数列的通项公式，根据函数f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₀x¹⁰，求出通项b_n=a_nxⁿ，从而进行求解；

解答：解：∵正数的等比数列{a_n}满足a₁a₇=4，∴

a

2 4

=4，可得a₄=2，
∵a₆=8，
∴

a6

a4

=q²，可得q²=4，可得q=2，∴a₁×q³=2，得a₁=

1

4

，
∴a_n=a₁×qⁿ=

1

4

×2^n-1=2^n-3，
∴f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₀x¹⁰，
∴f（

1

2

）=a₁

1

2

+a₂

1

2

2+a₃（

1

2

）³+…+a₁₀（

1

2

）¹⁰=

1

23

+

1

23

+…+

1

23

=10×

1

23

=

10

8

=

5

4

，
故答案为

5

4

；

点评：此题主要考查等比数列的性质及其应用，综合性比较强，计算量也比较大，解题的关键是求出等比数列的通项公式；