Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）已知函数f(x)=sinx•cosx-

3

cos2x+sinB，求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）把已知的等式变形，利用正弦定理化简，再根据两角和与差的正弦函数公式及诱导公式进行变形，根据sinA不为0，在等式两边同时除以sinA，得到cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）利用二倍角公式即辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调增区间，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）∵（2a+c）cosB+bcosC=0
∴由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，
即2sinAcosB+sinCcosB=-sinBcosC，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0．…3分
∵B+C=π-A，∴sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴cosB=-

1

2

，
∵B为三角形的内角，∴B=

2π

3

…（6分）
（Ⅱ） f(x)=sinx•cosx-

3

cos2x+sin

2π

3

=

1

2

sin2x-

3

2

(2cos2x-1)=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin(2x-

π

3

)
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

(k∈Z)
故f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

](k∈Z)…（12分）

点评：本题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，考查三角函数的化简，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．