题目内容
用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，求：扇形的圆心角多大时，容器的容积最大？并求出此时容器的最大容积．
分析：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，求出r2+h2=R2，表示出体积表达式，利用导数求出函数的最大值，得到结果．
解答：
解：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么r2+h2=R2，
因此，V=
πr2h
=
π(R2-h2)h=
πR2h-
πh3(0＜h＜R)．…（3分）
V′=
πR2-πh2．
令V'=0，即
πR2-πh2=0，得 h=
R．…（5分）
当 0＜h＜
R时，V'＞0．
当
R＜h＜R时，V'＜0．
所以，h=
R时，V取得极大值，并且这个极大值是最大值．…（8分）
把 h=
R代入r2+h2=R2，得 r=
R．
由Rα=2πr，得 α=
π
答：圆心角α为
π弧度时，漏斗容积最大．…（12分）
解：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么r2+h2=R2，因此，V=
| 1 |
| 3 |
=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
V′=
| 1 |
| 3 |
令V'=0，即
| 1 |
| 3 |
| ||
| 3 |
当 0＜h＜
| ||
| 3 |
当
| ||
| 3 |
所以，h=
| ||
| 3 |
把 h=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
由Rα=2πr，得 α=
2
| ||
| 3 |
答：圆心角α为
2
| ||
| 3 |
点评：本题考查圆锥与扇形展开图的关系，体积的计算，考查计算能力，导数的应用，解题的关键是建立起体积的函数模型，理解函数的单调性与最值的关系是解本题的重点
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