Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC，M，N分别是CC₁，AB的中点．

（Ⅰ）求证：CN⊥AB₁；

（Ⅱ）求证：CN //平面AB₁M．

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁⊥底面ABC，

       所以BB₁⊥平面ABC，   所以BB₁⊥CN．…………………1分

       因为AC=BC，N是AB的中点，

       所以CN⊥AB．                     ……………………3分

因为AB∩BB₁=B，                   ……………………4分

所以CN⊥平面AB B₁A₁．            ……………………5分

所以CN⊥AB₁．                     ……………………6分

（Ⅱ）（方法一）连结A₁B交AB₁于P．    ……………………7分

因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁，

所以P是A₁B的中点．

因为M，N分别是CC₁，AB的中点，

所以NP // CM，且NP = CM，         ……………………9分

所以四边形MCNP是平行四边形，    ……………………10分

所以CN//MP．                     ……………………11分

因为CN平面AB₁M，MP平面AB₁M，  ………………12分

所以CN //平面AB₁M．              ……………………14分

（方法二）取BB₁中点P，连结NP，CP． ……………………7分

因为N，P分别是AB，BB₁的中点，

所以NP //AB₁．

因为NP平面AB₁M，AB₁平面AB₁M，

所以NP //平面AB₁M．              ……………………10分

同理 CP //平面AB₁M．              ……………………11分

因为CP∩NP =P，

所以平面CNP //平面AB₁M．        ……………………13分

因为CN平面CNP，

所以CN //平面AB₁M．             ……………………14分