Question

已知函数f(x)=x²ln|x|，
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若关于x的方程f(x)=kx-1有实数解，求实数k的取值范围。

Answer 1

解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}， 又f(-x)=(-x)2ln|-x|=x2ln|x|=f(x)， 所以f(x)为偶函数． (2)当x＞0时，， 若，则f′(x)＜0，f(x)递减； 若，则f′(x)＞0，f(x)递增， 再由f(x)是偶函数，得f(x)的单调增区间是和， 单调减区间是和。
(3)要使方程f(x)=kx-1有实数解，即要使函数y=f(x)的图象与直线y=kx-1有交点， 函数f(x)的图象如图，先求当直线y=kx-1与f(x)的图象相切时k的值． 当x＞0时，f′(x)=x·(2·lnx+1)， 设切点为P(a，f(a))，则切线方程为y-f(a)=f′(a)(x-a)， 将x=0，y=-1代入，得-1-f(a)=f′(a)(-a)， 即，（*） 显然，a=1满足(*)． 而当0＜a＜1时，， 当a＞1时，， 所以(*)有唯一解a=1，此时k=f′(1)=1， 再由对称性，k=-1时，y=kx-1也与f(x)的图象相切， 所以若方程f(x)=kx-1有实数解，则实数k的取值范围是(-∞，-1]∪[1，+∞)。