Question

16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinA+a（cosB-$\sqrt{2}$）=0．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为3，a+c=3+2$\sqrt{2}$，求b．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理结合sinA≠0，化简可得：sin（B+$\frac{π}{4}$）=1，结合0＜B＜π，可解得B的值．
（2）由△ABC的面积为3=$\frac{1}{2}$acsinB，整理可得：ac=6$\sqrt{2}$，利用余弦定理即可解得b的值．

解答 解：（1）∵bsinA+a（cosB-$\sqrt{2}$）=0，
∴由正弦定理可得：sinBsinA+sinA（cosB-$\sqrt{2}$）=0，
∴由于sinA≠0，可得：sinB+cosB=$\sqrt{2}$，即：$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
∴sin（B+$\frac{π}{4}$）=1，
∴结合0＜B＜π，可得：B+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，从而解得：B=$\frac{π}{4}$．
（2）∵△ABC的面积为3，a+c=3+2$\sqrt{2}$，
∴由△ABC的面积为3=$\frac{1}{2}$acsinB，整理可得：ac=6$\sqrt{2}$．
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=$（a+c）^{2}-2ac-\sqrt{2}ac$=（3+2$\sqrt{2}$）²-2×$6\sqrt{2}$-$\sqrt{2}×6\sqrt{2}$=5．
∴解得：b=$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．