Question

已知命题P：函数f（x）=x²+2ax+2a的值为[0，+∞），命题Q：方程（ax-1）（ax+2）=0在[-1，1]有解，若命题：P∨Q是假命题，求实数a的范围．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．

解答：解：∵命题P：函数f（x）=x²+2ax+2a的值域为[0，+∞），
∴当P为真时，f（x）=（x+a）²-a²+2a⇒-a²+2a=0⇒a=0或者a=2  
∵命题Q：方程（ax-1）（ax+2）=0在[-1，1]有解
∴Q为真时，
①a=0 时，不符合条件
②当a≠0时，有x=

1

a

或者x=-

2

a

∴-1≤

1

a

≤1或-1≤-

2

a

≤1
即a≥1或a≤-1或a≥2或a≤-2
即a≥1或a≤-1
∵P∨Q是假命题
∴“P或Q”假，
即P假且Q假∴

-1＜a＜1 a≠0，且a≠2

⇒-1＜a＜1且a≠0
∴a的范围为{a|-1＜a＜1且a≠0}

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，属于基础题目