Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象过点P(

π

12

，0)，且图象上与点P最近的一个最低点是Q(-

π

6

，-2)．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f(α+

π

12

)=

3

8

，且α为第三象限的角，求sinα+cosα的值；
（Ⅲ）若y=f（x）+m在区间[0，

π

2

]上有零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由周期求得ω=2，又A=2且过点P(

π

12

，0)，可得sin(

π

12

×2+φ)=0，结合|φ|＜

π

2

，可得φ=-

π

6

，从而求得f（x）的解析式．
（Ⅱ）由f(α+

π

12

)=

3

8

得 2sin2α=

3

8

，再由α为第三象限的角，根据sinα+cosα=-

1+sin2α

，运算求得结果．
（Ⅲ）由x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求得-1≤2sin(2x-

π

6

)≤2．由y=f（x）+m在区间[0，

π

2

]上有零点，可得函数f（x）的图象和直线y=m有交点，由此可得m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由已知条件可得：

T

4

=

π

12

-(-

π

6

)=

π

4

，故T=π，即

2π

ω

=π，解得ω=2．（1分）
又A=2且过点P(

π

12

，0)，∴sin(

π

12

×2+φ)=0，结合|φ|＜

π

2

，可得φ=-

π

6

，（2分）
∴f（x）=2sin(2x-

π

6

)．（4分）
（Ⅱ）由f(α+

π

12

)=

3

8

得  2sin2α=

3

8

，（6分）∵α为第三象限的角，∴sinα+cosα=-

1+sin2α

=-

19

4

，
（Ⅲ）∵x∈[0，

π

2

]，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，∴-1≤2sin(2x-

π

6

)≤2．（10分）
若y=f（x）+m在区间[0，

π

2

]上有零点，则函数f（x）的图象和直线y=-m有交点．
故-1≤-m≤2，解得-2≤m≤1 即m的取值范围是[-2，1]．（12分）

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．